The object of research, development or design (in Russian) : Прямые и обратные задачи для уравнения диффузии с дробной производной по времени

The object of research, development or design (in Kazakh) : Уақыт бойынша бөлшек туындылы диффузия теңдеуі үшін тура және кері есептер

Aim of work (in Russian) : Обобщение метода Рarareal для дробных дифференциальных уравнений с частными производными, исследование и разработка численных алгоритмов для приближенного решения новых постановок начально-краевых и коэффициентных обратных задач для уравнения диффузии с дробной производной по времени.

Aim of work (in Kazakh) : Бөлшекті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін Рarareal әдісін жалпылау, уақыт бойынша бөлшек туындылы диффузия теңдеуі үшін бастапқы-шеттік және коэффициенттік кері есептердің жаңа қойылымдары үшін сандық алгоритмдерді құру және зерттеу.

Методы исследования (на русском) : Метод конечных разностей, метод последовательной прогонки, метод параллельной прогонки, итерационный метод сопряженных гардиентов, технология параллельного программирования OpenMP, методы последовательного уточнения на основе декомпозиции временной области, спектральный метод Фуре

Методы исследования (на казахском) : Ақырлы айырымдар әдісі, тізбекті қума әдісі, параллель қума әдісі, итерациялық түйіндес градиенттер әдісі, OpenMP параллельді бағдарламалау технологиясы, уақыттық аймақты декомпозициялауға негізделген итерациялық тізбекті нақтылау әдістері, спектралды Фурье әдісі

Obtained results and novelty (in Russian) : Разработаны вычислительные алгоритмы решения обратных задач восстановления правой части уравнения диффузии с дробной производной по времени для случаев, когда искомая правая часть зависит только от времени или от пространственных переменных. Обратная задача сводится к решению начально-краевой задачи для вспомогательного нагруженного уравнения. После дискретизации, аппроксимации и применения неявной двуслойной конечно-разностной схемы задача сводится к решению пары систем линейных алгебраических уравнений (с одной матрицей коэффициентов, но разными правыми частями) на каждом последовательном временном шаге. Разработан итерационный метод сопряженных градиентов для решения обратной задачи восстановления правой части (зависящий от пространственных переменных) уравнения диффузии с дробной производной по времени. Вычислительный алгоритм основан на решении прямой задачи для вспомогательного уравнения и последовательного уточнения решения обратной задачи на каждой итерации метода сопряженных гардиентов. Новизна полученных результатов заключается в разработке параллельных вычислительных алгоритмов решению обратных задач восстановления правой части уравнения аномальной диффузии, доказательстве теорем единственности и существования решения обратных задач.

Obtained results and novelty (in Kazakh) : Бөлшек туындылы диффузия теңдеуінің оң жағын тіктеу кері есебін шешудің есептеу алгоритмдері ізделінді оң жақ уақытқа тәуелді немесе кеңістік айнымалыларына тәуелді болған жағдайлар үшін құрылды. Кері есеп қосалқы жүктелген теңдеу үшін бастапқы-шеттік есепті шешуге келтіріледі. Дискреттеу, аппроксимациялау және айқын емес екі қабатты ақырлы-айырымдық схеманы қолданғаннан соң есеп әрбір уақыттық қабатта екі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі жұбын (коэффициенттер матрицасы бірдей, бірақ оң жақтары әртүрлі болған) шешуге келтіріледі. Уақыт бойынша бөлшек туындылы диффузия теңдеуінің оң жағын (кеңістік айнымалыларынан тәуелді) тіктеу кері есебін шешу үшін итерациялық түйіндес градиенттер әдісі құрылды. Есептеу алгоритмі қосалқы теңдеу үшін тура есепті шешуге және түйіндес градиенттер әдісінің әрбір итерациясында кері есеп шешімін тізбекті нақтылауға негізделген. Алынған нәтижелердің жаңашылдығы аномальды диффузия теңдеуінің оң жағын тіктеу кері есептерін шешудің параллельді есептеу алгоритмдерін құруда және кері есептердің шешімдерінің жалғыздығы мен бар болуы теоремаларын дәлелдеуде.

The main constructive and technical economic indicators (in Russian) : Параллельные алгоритмы решения обратных задач восстановления правой части для уравнения диффузии с дробной производной по времени реализованы в виде программы на языке C++ для многоядерных процессоров с использованием технологии параллельного программирования OpenMP. Проведены вычислительные эксперименты. Достигнуто ускорение в 4 раза при использовании 8-ядерного процессора

The main constructive and technical economic indicators (in Kazakh) : Уақыт бойынша бөлшек туындылы диффузия теңдеуінің оң жағын тіктеу кері есептерін шешудің параллельді алгоритмдері OpenMP параллельді бағдарламалау технологиясын қолдана отырып, көп ядролы процессорларға арналған C++ тіліндегі бағдарлама түрінде жүзеге асырылады. Есептеу эксперименттері жүргізілді. 8 ядролық процессорды пайдалану кезінде 4 есе жеделдетуге қол жеткізілді.

Level of implementation (in Russian) :

Level of implementation (in Kazakh) :

Efficiency (in Russian) :

Efficiency (in Kazakh) :

Field of application (in Russian) : Прямые и обратные задачи для дробных уравнений математической физики

Field of application (in Kazakh) : Математикалық физиканың бөлшекті теңдеулері үшін тура және кері есептер