The object of research, development or design (in Russian) : Прямые и обратные задачи для уравнения диффузии с дробной производной по времени

The object of research, development or design (in Kazakh) : Уақыт бойынша бөлшек туындылы диффузия теңдеуі үшін тура және кері есептер

Aim of work (in Russian) : Обобщение метода Рarareal для дробных дифференциальных уравнений с частными производными, исследование и разработка численных алгоритмов для приближенного решения новых постановок начально-краевых и коэффициентных обратных задач для уравнения диффузии с дробной производной по времени.

Aim of work (in Kazakh) : Бөлшекті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін Рarareal әдісін жалпылау, уақыт бойынша бөлшек туындылы диффузия теңдеуі үшін бастапқы-шеттік және коэффициенттік кері есептердің жаңа қойылымдары үшін сандық алгоритмдерді құру және зерттеу.

Методы исследования (на русском) : конечно-разностные схемы, итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, технология параллельного программирования OpenMP, преобразования Лапласа и Фурье, H-функции Фокса, итерационные методы последовательного уточнения на основе декомпозиции временной области

Методы исследования (на казахском) : ақырлы-айырымдық схемалар, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық әдістері, OpenMP параллельді бағдарламалау технологиясы, Лаплас және Фурье түрлендірулері, Фокстың Н-функциясы, уақыттық аймақты декомпозициялауға негізделген итерациялық тізбекті нақтылау әдістері

Obtained results and novelty (in Russian) : Разработаны вычислительные алгоритмы решения начально-краевой задачи для одномерного уравнения диффузии с дробной производной по времени. Алгоритм основан на неявной конечно-разностной схеме аппроксимации первого порядка точности по времени и второго по пространству. Построено явное решение начально-краевой задачи для многомерного дифференциального уравнения с дробной производной по времени. Разработаны параллельные алгоритмы решения прямых задач для одномерного дробного уравнения диффузии. Распараллелены самые затратные операции: вычисление правой части системы линейных алгебраических уравнений, требующее интегрирования по полной истории процесса, и вычисление матрично-векторных произведений, используемых в методе ускоренной верхней релаксации. Получены условия устойчивости и сходимости численных алгоритмов решения начально-краевой задачи для одномерного уравнения диффузии с дробной производной по времени. Показано, что используемая неявная конечно-разностная схема безусловно устойчива. Получены необходимые условия на параметры метода ускоренной верхней релаксации, при которых метод сходится. Новизна полученных результатов заключается в разработке параллельных вычислительных алгоритмов решению начально-краевой задачи для одномерного уравнения аномальной диффузии и построении в явном виде формулы для решение начально-краевой задачи для многомерного дифференциального уравнения с дробной производной по времени.

Obtained results and novelty (in Kazakh) : Уақыт бойынша бөлшек туындылы бірөлшемді диффузия теңдеуі үшін бастапқы-шеттік есепті шешу үшін есептеу алгоритмдері құрылды. Алгоритм дәлдік реті уақыт бойынша бірінші және кеңістік бойынша екінші болған айқындалмаған ақырлы-айырымдық аппроксимациялау схемасына негізделген. Уақыт бойынша бөлшек туындылы көпөлшемді дифференциалдық теңдеу үшін бастапқы-шеттік есептің айқын шешімі құрылды. Бірөлшемді бөлшекті диффузия теңдеуі үшін тура есептерді шешудің параллель алгоритмдері құрылды. Ең шығынды амалдар параллельденген: процесстің толық тарихы бойынша интегралдауды қажет ететін сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің оң жағын, және үдемелі жоғары релаксация әдісінде пайдаланылатын матрицалық-векторлық көбейтулерді есептеу. Уақыт бойынша бөлшек туындылы бірөлшемді диффузия теңдеуі үшін бастапқы-шеттік есепті шешудің сандық алгоритмдерінің орнықтылық және жинақтылық шарттары алынды. Пайдаланылатын айқындалмаған ақырлы-айырымдық схема шартсыз орнықты болатындығы көрсетілген. Үдемелі жоғары релаксация әдісінің параметрлеріне әдіс жинақты болатын қажетті шарттар алынған. Алынған нәтижелердің жаңалығы аномалды диффузияның бір өлшемді теңдеуі үшін бастапқы-шекаралық есепті шешудің параллель есептеу алгоритмдерінің және уақыт бойынша бөлшек туындылы көпөлшемді дифференциалдық теңдеу үшін бастапқы-шеттік есеп шешімінің айқын құрылғандығы болып табылады.

The main constructive and technical economic indicators (in Russian) : Параллельные алгоритмы решения начально-краевой задачи для уравнения диффузии с дробной производной по времени реализованы в виде программы на языке C++ для многоядерных процессоров с использованием технологии параллельного программирования OpenMP. Проведены вычислительные эксперименты. Достигнуто ускорение в 2.5 раза при использовании 8-ядерного процессора.

The main constructive and technical economic indicators (in Kazakh) : Уақыт бойынша бөлшек туындылы диффузия теңдеуі үшін бастапқы-шеттік есепті шешудің параллельді алгоритмдері OpenMP параллельді бағдарламалау технологиясын қолдана отырып, көп ядролы процессорларға арналған C++ тілінде бағдарлама түрінде жүзеге асырылады. Есептеу эксперименттері жүргізілді. 8 ядролық процессорды пайдалану кезінде 2.5 есе жеделдетуге қол жеткізілді.

Level of implementation (in Russian) :

Level of implementation (in Kazakh) :

Efficiency (in Russian) :

Efficiency (in Kazakh) :

Field of application (in Russian) : Разрабатываемые вычислительные алгоритмы будут востребованы как в теоретических, так и в численных исследованиях для дробных дифференциальных уравнений и в нелокальных математических моделях с дробными производными.

Field of application (in Kazakh) : Құрылған есептеу алгоритмдері бөлшек туындылы дифференциалдық теңдеулерді және бөлшек туындылы локальды емес математикалық модельдерді теориялық, сондай-ақ, сандық зерттеулерде сұранысқа ие болады.