The object of research, development or design (in Russian) : Применение сингулярного анализа и свойства Пенлеве к неинтегрируемым дифференциальным уравнениям в частных производных

The object of research, development or design (in Kazakh) : Сингулярлық талдау мен Пенлеве қасиетін интегралданбайтын дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерге қолдану

Aim of work (in Russian) : Цель проекта состоит в применении сингулярного анализа и свойства Пенлеве для получения интегрируемых случаев обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, использовании сингулярного анализа для нахождения специального решения солитонного типа в случаях физически важных неинтегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных.

Aim of work (in Kazakh) : Жобаның мақсаты: Интегралданбайтын дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің физикалық маңызды жағдайларына солитон типтес арнайы шешімдері табу үшін сингулярлық талдауды қолдану. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер мен жай дифференциалдық теңдеулердің интегралданатын жағдайларын алу үшін сингулярлық талдауды және Пейнлеве қасиеттерін қолдану.

Методы исследования (на русском) : Методы исследования – современные методы математической и теоретической физики, а также методика теорий возмущений для решения нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Методы исследования (на казахском) : Жоғары нәтижелер алу үшін математикалық және теориялық физиканың заманауи әдістері, сонымен қатар дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің сызықтық емес жүйелерін шешуге арналған ауытқу теориясының әдісін пайдаланудың маңызы зор.

Obtained results and novelty (in Russian) : Известны полностью интегрируемые случаи гамильтоновой системы Лотки- Вольтерра без линейных членов. Впервые эта система обобщена к такой, которая включает произвольный набор линейных членов, сохраняющие гамильтонов интеграл. Таким образом, обнаружен широкий класс гамильтоновой системы Лотки- Вольтерра, которые являются интегрируемыми, так как их уравнения обладают свойством Пенлеве. Свойства Пенлеве применено в случае п = 3 и показано, что система продолжает удовлетворять свойству Пенлеве для любого выбора коэффициентов линейных членов, которые сохраняют гамильтониан. Обнаружено, что неинтегрируемые возмущения наших моделей очень устойчивы в том смысле, что они не показывают наличия предельных циклов или бифуркаций, которые приводят к хаотическому поведению. Использован сингулярный анализ для нахождения специального решения солитонного типа в случаях физически важных неинтегрируемых ДУЧП. Построено волновое решение изотропного уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта, которое представляет спиновую систему Гейзенберга при наличии демпфирования Гильберта. Недавно мы получили стационарное решение для равновесной системы и решение бегущей волны для движущейся системы классической изотропной ферромагнитной спиновой цепочки Гейзенберга. Для преодоления численных трудностей, возникающих при решении уравнения, введена новая подвижная система координат.

Obtained results and novelty (in Kazakh) : Сызықты мүшелері жоқ Лотка-Вольтерра гамильтондық жүйесінің толық интегралданатын жағдайлары белгілі. Бұл жүйе бірінші рет гамильтондық интегралды сақтайтын сызықтық мүшелердің ерікті жиынтығын қамтитынға жалпыланды. Осылайша, олардың теңдеулері Пенлеве қасиеті болғандықтан интегралданатын Лотка - Вольтерра гамильтондық жүйесінің кең тобы табылды. Пенлеве қасиеттері n = 3 жағдайда қолданылды және жүйе гамильтонианды сақтайтын сызықтық мүшелердің коэффициенттерінің кез келген таңдауы үшін Пенлеве қасиетін қанағаттандыруды жалғастыратындығы көрсетілген. Карастырылған модельдердің интегралданбайтын ауытқулары өте тұрақты екендігі анықталды, олар хаотикалық құбылысқа әкелетін шектік циклдердің немесе бифуркацияның болуын көрсетпейтіндігі мағынасында. Сингулярлы талдау физикалық маңызды интегралданбайтын ДТДТ жағдайларында солитон типті арнайы шешімін табу үшін қолданылды. Гильберт демпфингті Гейзенберг спиндік жүйесін көрсететін изотропты Ландау-Лифшиц-Гильберт теңдеуі үшін толқындық шешім құрылды. Жақында біз тепе-теңдік жүйесі үшін стационарлық шешім және классикалық изотропты ферромагниттік Гейзенберг спин тізбегінің қозғалатын жүйесі үшін жылжымалы толқын шешімін алдық. Теңдеуді шешуде туындайтын сандық қиындықтарды жеңу үшін жаңа қозғалатын координаталар жүйесі енгізілді.

The main constructive and technical economic indicators (in Russian) : В частности, семейство систем Лотки-Вольтерра нелинейных дифференциальных уравнений, которые описывают стандартные модели биологического процесса, анализируется математически. Рассматриваемые нелинейные и линейные задачи являются математическими моделями реальных физических и биологических процессов и имеют физический смысл.

The main constructive and technical economic indicators (in Kazakh) : Атап айтқанда, биологиялық процестің стандартты модельдерін сипаттайтын сызықтық емес дифференциалдық теңдеулердің Лотка-Вольтерра жүйелері математикалық түрде талданады. Қарастырылған сызықтық емес және сызықтық есептер нақты физикалық және биологиялық процестердің математикалық модельдері болып табылады және физикалық мағынасы бар.

Level of implementation (in Russian) :

Level of implementation (in Kazakh) :

Efficiency (in Russian) :

Efficiency (in Kazakh) :

Field of application (in Russian) : Работа носит теоретический характер, полученные математические результаты могут быть применены в отношении моделей конкурирующих видов в математической биологии, которые интенсивно изучены в связи с достижениями в области теории интегрируемости обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных и хаотической динамики.

Field of application (in Kazakh) : Жұмыстың теориялық сипаты бар, алынған математикалық нәтижелерді жай дифференциалдық теңдеулердің, дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің және хаотикалық динамиканың интегралдылық теориясының жетістіктеріне байланысты қарқынды зерттелген математикалық биологиядағы бәсекелес түрлердің модельдеріне қолдануға болады.