The object of research, development or design (in Russian) : Объектом исследования является применение преобразования Радона как одного из основных видов числовой информации в задачах дискретизации функции из различных функциональных классов.

The object of research, development or design (in Kazakh) : Зерттеу объектісі әртүрлі функционалдық класстардағы функцияларды дискретизациялау есептерінде сандық мәліметтің негізгі түрлерінің бірі ретінде Радон түрлендіруін қолдану.

Aim of work (in Russian) : Цель работы – получение оптимальных (или близких к оптимальным) оценок задач дискретизации функций из различных классов по значениям их преобразований Радона.

Aim of work (in Kazakh) : Зерттеудің мақсаты – әртүрлі функционалдық класстардағы функцияларды олардың Радон түрлендірулерінің мәні арқылы дискретизациялау есептерінде оптималды (немесе оптималдыға жақын) бағалауларын алу.

Методы исследования (на русском) : Методы теории приближения функции, компьютерный (вычислительный) поперечник, построение вычислительного агрегата по числовой информации в виде значений преобразования радона, реализующего оценку сверху, вычислительные методы в среде Matlab. Приведем общее описание метода исследования в контексте К(В)П-1, К(В)П-2 и К(В)П-3. К(В)П-1 - заключается в получении оценок снизу и оценок сверху (желательно совпадающих с точностью до констант) для величины при и в указании набора функционалов и алгоритма , реализующих оценку сверху величины .Тем самым, сначала решается задача восстановления по точной информации при . Первая часть задачи- К(В)П-1 – оценка снизу в К(В)П-1: при данных и находится последовательность такая, что Упрощение при техническом исполнении: построении функции такой, что , тем самым, , позволяет обойти сложность в виде . Вторая часть задачи К(В)П-1: требуется построить (всего один!) вычислительный агрегат из все возможные линейные функционалы на линейной оболочке такой, что (1) или же, при наличии оценки снизу . (2) Смысл оценок (1) и (2): при наличии оценки снизу эти оценки позволяют переходить к двухсторонней оценке (3) В случае (1) и (2) будем говорить «Вычислительный агрегат подтверждает оценку снизу ».

Методы исследования (на казахском) : Функцияны жуықтау теориясының әдістері, Компьютерлік (есептеуіш) диаметр, сандық мәлімет бойынша жоғарыдан бағалауды жүзеге асыратын Радон түрлендіруінің мәні арқылы есептеу агрегатын құру, Matlab ортасында есептеу әдістері. К(Е)Д-1, К(Е)Д -2 және К(Е)Д -3 мәнмәтінінде зерттеу әдісінің жалпы сипаттамасын берейік. К(Е)Д-1 - жағдайында шамасы үшін төменнен және жоғарыдан (мүмкіндігінше тұрақтыға дейінгі дәлдікпен сәйкес келетін) баға алудан және шамасы үшін жоғарыдан бағалауды жүзеге асыратын функционалдар жиынтығы мен алгоритімді көрсетуден тұрады. Осылайша, алдымен болатын дәл мәліметтер бойынша жуықтау есебі шешіледі . Есептің бірінші бөлігі К(Е)Д-1 – К(Е)Д-1-де төменнен бағалау берілген және үшін орындалатындай тізбегі табылады. Техникалық орындау кезінде жеңілдету: орындалатындай функциясын құру, осылайша тепе-теңдігі күрделілігінен түрінде айналып өтуге мүмкіндік береді . К(Е)Д-1 есебінің екінші бөлігі: сызықтық қабықтағы барлық мүмкін сызықтық функционалдар жиыны (1) есептеу агрегатын көрсету керек немесе төменнен бағалау болған жағдайда . (2) (1) және (2) бағалаулар мәні: Егер төменнен бағалау болса, онда бұл екі жақты (3) бағалауға өтуге мүмкіндік береді. (1) және (2) жағдайда " есептеу агрегаты төменнен бағалауды растайды "деп айтамыз.

Obtained results and novelty (in Russian) : Основные результаты Проекта (сформулированные в виде теорем) заключаются в полученных оптимальных порядковых оценках для величины погрешности восстановления функции из функциональных классов (рассмотрены классы Соболева, Коробова, Никольского-Бесова). Полученные оптимальные порядки в «Преобразованиях Радона» и теоретически, и практически через «Томографию» имеют значение «На все будущие времена», поскольку здесь основным источником числовой информаций являются «значения преобразования Радона», а оценка снизу показывает, что лучше никогда не сделать, оценка сверху подтверждает этот вывод. Через полученные двусторонние К(В)П-оценки за Казахстаном закрепляется новый подход по Преобразованию Радона, – теоретической основы «Томографии», 100-летие открытия которого весь математический мир отмечал в 2017 году. Здесь надо сказать, что всякие сочетания inf-sup и sup-inf несут в себе очень трудные задачи и очень редкие решения в виде порядкового равенства сразу же относятся к разряду фундаментальных.

Obtained results and novelty (in Kazakh) : Жобаның негізгі нәтижелері (теоремалар түрінде тұжырымдалған) функционалдық класстардан (Соболев, Коробов, Никольский-Бесов класстары қарастырылған) алынған функцияларды жуықтау қателігі үшін алынған тиімді реттік бағалаулардан тұрады. Сандық мәліметтердің негізгі көзі "Радон түрлендірулерінің мәндері" болып табылғандықтан, ал төменгі бағалау ешқашан бұдан ары қарай жақсартылмайтындықтан және жоғарыдан бағалау бұл тұжырымды растайтындықтан "Радон түрлендірулерінде" алынған тиімді реттік бағалар теориялық тұрғыдан да, практикалық тұрғыдан да "Томография" арқылы "Барлық болашаққа" деңгейінде маңызды болып табылады. Алынған екі жақты К(Е)Д-бағалау арқылы Қазақстанда 2017 жылы бүкіл математикалық әлем атап өткен "Томографияның" теориялық негізі – Радон түрлендіруі бойынша жуықтаудың жаңа тәсіл бекітілді. Мұнда айта кету керек жәйт, inf-sup және sup-inf комбинацияларының барлық түрлері өте қиын есептерді орындайды және реттік теңдік түріндегі өте сирек шешімдер бірден іргелі категорияға жатады.

The main constructive and technical economic indicators (in Russian) : Рассматривается модельный случай дискретизации функций по значениям их преобразований Радона, который предусматривает 3 этапа. На первом этапе (2018 год) выполнен обзор современного состояния теории преобразования Радона и его применения, проведены работы по приближенному восстановлению функций из классов по их значениям преобразований Радона, в том числе рассмотрены в качестве функциональных классов – классы Соболева и Коробова и получены соответствующие формулы приближенного восстановления функций. На втором этапе (2019 год) проведено К(В)П исследование преобразования Радона по точной и неточной информации, т.е. исследование преобразования Радона как вида числовой информации в контексте Компьютерного (вычислительного) поперечника (далее – К(В)П). На третьем этапе (2020 год) выполнены работы по дискретизации функций по значениям их преобразований Радона по точной и неточной информации.

The main constructive and technical economic indicators (in Kazakh) : Функцияларды олардың Радон түрлендірулерінің мәні арқылы дискретизациялау есебінің 3 этаптан тұратын моделдік жағдайы қарастырылады. Бірінші этапта (2018 жыл) Радон түрлендіруі теориясының қазіргі жағдайы мен оның қолданысына шолу жасалды, класстардан алынған функцияларды олардың Радон түрлендіруінің мәндері бойынша жуықтау жұмысы жүргізілді, атап айтқанда функционалдық класс ретінде Соболев және Коробов класстары қарастырылып, сәйкес функцияны жуықтаудың есептеу агрегаттары алынды. Екінші этапта (2019 жыл) Радон түрлендіруінің Компьютерлік (есептеуіш) диаметр (ары қарай қысқартылған К(Е)Д) мәнмәтінінде дәл және дәл емес мәліметтер бойынша зерттеулер жүргізілген, яғни К(Е)Д есебінде Радон түрлендіруі сандық мәлімет ретінде зерттеледі. Үшінші этапта да (2020 жыл) функцияны оның Радон түрлендіруінен алынған дәл және дәл емес мәліметтері бойынша дискретизациялау жұмыстары жасалды

Level of implementation (in Russian) : В рамках проекта доказано 12 теорем, опубликовано 14 научных статей, в том числе 3 статьи в рецензируемых зарубежных научных изданиях (индексируемых в базах данных Web of Science или Scopus с ненулевым импакт-фактором), 8 статей в рецензируемых зарубежных или отечественных научных изданиях с ненулевым импакт-фактором.

Level of implementation (in Kazakh) : Жоба аясында 12 теорема дәлелденіп, 14 ғылыми мақала дайындалып, баспаға жарияланды, оның ішінде 3 мақала рецензияланатын шетелдік ғылыми баспаларда (Web of Science немесе Scopus деректер базасында индекстелетін нөлдік емес импакт-факторлы), 8 мақала рецензияланатын нөлдік емес импакт-факторлы шетелдік немесе отандық ғылыми баспаларда.

Efficiency (in Russian) : По результатам Проекта получены новые математические соотношения, оптимальные агрегаты приближения сложных объектов. Новый научный результат, полученный в рамках реализации Проекта в контексте применения К(В)П подхода к классической постановке восстановления функции по числовой информации в виде преобразования Радона, вносит новый импульс к дальнейшему развитию математической теории компьютерной томографии и оценивается как вклад казахстанской математической школы в ее развитие в мировом масштабе. Принципиальное отличие Проекта от рассматриваемых ранее конкретизаций общей постановки задачи восстановления, выполняемых ранее научных задач, в использовании нового вида числовой информации в виде значений преобразования Радона, показало, что оно относится к числу оптимальных среди всех возможных линейных функционалов, с которых снимается числовая информация для формирования вычислительного агрегата.

Efficiency (in Kazakh) : Жоба нәтижелері бойынша жаңа математикалық қатынастар, күрделі нысандарды жуықтаудың тиімді агрегаттары алынды. Радон түрлендіруінің мәні түріндегі сандық мәлімет бойынша функцияны жуықтау есебінің классикалық қойылымына К(Е)Д тәсілін қолдану аясында алынған жаңа ғылыми нәтиже компьютерлік томографияның математикалық теориясының одан әрі дамуына жаңа серпін береді және қазақстандық математикалық мектептің әлемдік ауқымда дамуына қосқан үлесі ретінде бағаланады. Радон түрлендіруінің мәндері түріндегі сандық мәліметтің жаңа түрін қолдануда жуықтау есебінің бұрынғы ғылыми есептердің жалпы тұжырымының бұрын қарастырылған нақтылауларынан жобаның түбегейлі айырмашылығы оның жуықтау үшін құрылатын есептеу агрегатындағы мүмкін болатын сызықтық функциялар сандық мәліметтер жағдайда ең тиімділердің қатарына жататынын көрсетті.

Field of application (in Russian) : В Проекте изучена постановка и решение различных случаев в рамках общей задачи К(В)П, при этом в качестве числовой информации впервые рассмотрены преобразования Радона. Последующая вычислительная реализация имеет весьма широкую сферу применения в науке и технике, в частности в компьютерной томографии. В связи со значительно увеличивающимися объемами данных, в компьютерных технологиях все более возрастает спрос на самые быстрые алгоритмы обработки и сжатия информации. Поэтому, в вычислительной математике и компьютерных вычислениях востребованы методы теории приближений, которые активно используются при построении численных алгоритмов, а также при сжатии информации, а следовательно могут значительно повлиять на объем информации и соответственно скорость ее обработки.

Field of application (in Kazakh) : Жобада К(Е)Д жалпы есебі шеңберінде әртүрлі жағдайларды қою және шешу зерделенді, соның ішінде сандық мәлімет ретінде алғаш рет Радон түрлендірулерінің мәндері қаралды. Кейінгі есептеуді жүзеге асыру ғылым мен техникада, атап айтқанда компьютерлік томографияда өте кең ауқымға ие. Деректер көлемінің едәуір артуына байланысты компьютерлік технологияларда ақпаратты өңдеу мен сығудың жылдам алгоритмдеріне сұраныс артып келеді. Сондықтан Есептеу математикасы мен компьютерлік есептеулерде жуықтау теориясының әдістері сұранысқа ие, олар сандық алгоритмдерді құруда, сондай-ақ мәліметті сығу кезінде белсенді қолданылады, сондықтан ақпарат көлеміне және сәйкесінше оны өңдеу жылдамдығына айтарлықтай әсер етуі мүмкін.