The object of research, development or design (in Russian) : Обратные и некорректные задачи, возникающие при математическом моделировании биомедицинских процессов, описываемых обыкновенными и частными дифференциальными уравнениями.

The object of research, development or design (in Kazakh) : Қарапайым және дербес дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын биомедициналық процестерді математикалық модельдеу кезінде пайда болатын кері және қисынды емес есептер.

Aim of work (in Russian) : Целью проекта является разработка и совершенствование современных численных методов решения обратных и некорректных задач, возникающих при моделировании сложных биомедицинских процессов, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных.

Aim of work (in Kazakh) : Жобаның мақсаты қарапайым дифференциалдық теңдеулермен және дербес туындылы теңдеулермен сипатталатын күрделі биомедициналық процестерді модельдеу кезінде туындайтын кері және қисынды емес есептерді шешудің заманауи сандық әдістерін әзірлеу және жетілдіру болып табылады.

Методы исследования (на русском) : Применяются аналитические и численные методы теории дифференциальных уравнений, метод конечных элементов, градиентные и стохастические методы оптимизации, включая генетические алгоритмы и дифференциальную эволюцию, методы машинного обучения. Проводятся вычислительное моделирование, сравнительный анализ эффективности численных алгоритмов и анализ идентифицируемости.

Методы исследования (на казахском) : Дифференциалдық теңдеулер теориясының аналитикалық және сандық әдістері, ақырлы элементтер әдісі, градиенттік және стохастикалық оңтайландыру әдістері, соның ішінде генетикалық алгоритмдер мен дифференциалдық эволюция әдісі, машиналық оқыту әдістері қолданылады. Есептеу модельдеуі жүргізіліп, сандық алгоритмдердің тиімділігіне салыстырмалы талдау жасалады және сәйкестендіру талдау жүргізіледі.

Obtained results and novelty (in Russian) : Проведён обзор современных численных методов решения обратных и некорректных задач в медицинских приложениях. Систематизированы основные подходы: методы регуляризации, градиентные и стохастические алгоритмы, а также метод конечных элементов. Рассмотрены математические модели роста опухолей, включая биотермические модели на основе уравнений теплопроводности, учитывающие распределение тепла, кровоток и метаболическое тепловыделение. Получен алгоритм, основанный на методе оптимального управления, который эффективно решает обратные задачи, минимизируя функционал на каждой итерации для подбора параметров, максимально соответствующих реальным измерениям. Разработана методология решения прямых и обратных задач для параболических уравнений, объединяющая вариационную постановку, метод конечных элементов и комбинированные оптимизационные алгоритмы. Построена слабая формулировка и созданы сетки сложной геометрии, что повысило точность вычислений. Разработана математическая модель воздействия лечения на костные метастазы рака простаты, описывающая динамику митоза и апоптоза. Результаты оптимизации согласуются с экспериментальными данными. Применены генеративные модели (GAN), которые позволили улучшить точность решения обратных задач и подтвердить эффективность предложенной модели.

Obtained results and novelty (in Kazakh) : Медициналық қолданбаларда кездесетін кері және қисынды емес есептерді шешудің заманауи сандық әдістеріне шолу жүргізілді. Негізгі тәсілдер жүйеленді: регуляризация әдістері, градиенттік және стохастикалық алгоритмдер, сондай-ақ ақырлы элементтер әдісі. Ісік өсуінің математикалық модельдері, соның ішінде жылу таралуын, қан ағымын және метаболикалық жылу бөлінуін ескеретін жылу өткізгіштік теңдеулеріне негізделген биотермиялық модельдер қарастырылды. Оңтайлы басқару әдісіне негізделген, әр итерацияда функционалды минимизациялау арқылы нақты өлшеулерге барынша сәйкес келетін параметрлерді анықтап, кері есептерді тиімді шешуге мүмкіндік беретін алгоритм алынды. Параболалық теңдеулерге арналған тура және кері есептерді шешетін, вариациялық қойылымды, ақырлы элементтер әдісін және біріктірілген оңтайландыру алгоритмдерін қамтитын әдістеме әзірленді. Әлсіз қойылым жасалып, есептеулердің дәлдігін арттыруға мүмкіндік берген күрделі геометриялы аймақтарға арналған есептеу торлары құрылды. Қуық асты безі қатерлі ісігінің сүйек метастаздарына қолданылатын терапияның әсерін және митоз бен апоптоз динамикасын сипаттайтын математикалық модель әзірленді. Оңтайландыру нәтижелері эксперименттік деректермен толық сәйкес келеді. Кері есептерді шешудің дәлдігін арттыруға және ұсынылған модельдің тиімділігін растауға мүмкіндік беретін генеративті модельдер (GAN) қолданылды.

The main constructive and technical economic indicators (in Russian) : Разработана вычислительная методология решения обратных и некорректных задач, основанная на методе конечных элементов, градиентных и стохастических алгоритмах оптимизации. Создан прототип вычислительного модуля для численного решения прямых и обратных задач в параболических уравнениях. Повышение точности численного решения по сравнению с существующими методами. Возможность адаптации разработанных методов к биомедицинским моделям различной физической природы (теплоперенос, рост опухолей и др.).

The main constructive and technical economic indicators (in Kazakh) : Ақырлы элементтер әдісіне, градиенттік және стохастикалық оңтайландыру алгоритмдеріне негізделген кері және қисынды емес есептерді шешудің есептеу әдістемесі әзірленді. Параболалық теңдеулер үшін тура және кері есептерді сандық шешуге арналған есептеу модулі прототипі жасалды. Бар әдістермен салыстырғанда сандық шешімдердің дәлдігі арттырылды. Әзірленген әдістерді әртүрлі физикалық табиғаты бар биомедициналық модельдерге (жылу алмасу, ісік өсуі және т.б.) бейімдеу мүмкіндігі қамтамасыз етілді.

Level of implementation (in Russian) : Разработанные численные методы и алгоритмы могут быть внедрены в: образовательный процесс при преподавании дисциплин «Вычислительная математика», «Математическое моделирование», «Численные методы решения дифференциальных уравнений»; научно-исследовательскую деятельность кафедр и лабораторий, занимающихся моделированием медицинских и биологических процессов; практику вычислительного моделирования в области медицинской диагностики, анализа и прогнозирования динамики заболеваний; совместные научные проекты с медицинскими и исследовательскими организациями, использующими математические модели для интерпретации экспериментальных данных.

Level of implementation (in Kazakh) : «Есептеу математикасы», «Математикалық модельдеу», «Дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу әдістері» пәндерін оқыту барысында білім беру үдерісіне енгізу; медициналық және биологиялық үдерістерді модельдеумен айналысатын кафедралар мен зертханалардың ғылыми-зерттеу қызметінде пайдалану; медициналық диагностика, аурулар динамикасын талдау және болжау салаларындағы есептік модельдеу тәжірибесінде қолдану; эксперименттік деректерді түсіндіру үшін математикалық модельдерді пайдаланатын медициналық және зерттеу ұйымдарымен бірлескен ғылыми жобаларда жүзеге асыру.

Efficiency (in Russian) : Разработанные численные методы и алгоритмы позволяют сократить вычислительные затраты при решении обратных задач за счёт оптимизации процедур дискретизации и ускорения сходимости алгоритмов. Повышение точности моделирования медицинских процессов снижает необходимость дорогостоящих экспериментальных исследований и лабораторных испытаний, что приводит к экономии финансовых и временных ресурсов. Использование разработанных программных модулей в научных и образовательных учреждениях исключает затраты на приобретение дорогостоящего коммерческого программного обеспечения. Внедрение разработанных методов в исследовательскую и образовательную деятельность способствует повышению эффективности научных проектов и качеству подготовки специалистов в области вычислительной математики и медицинского моделирования. Потенциальное использование разработанных алгоритмов в медицинских и биотехнологических центрах позволяет оптимизировать анализ данных и прогнозирование развития патологических процессов, что имеет социально-экономический эффект (снижение затрат на диагностику и лечение).

Efficiency (in Kazakh) : Әзірленген сандық әдістер мен алгоритмдер дискреттеу үрдісін оңтайландыру және алгоритмдердің жинақталу жылдамдығын арттыру арқылы кері есептерді шешу кезінде есептеу шығындарын азайтуға мүмкіндік береді. Медициналық үдерістерді модельдеудің дәлдігін арттыру қымбат эксперименттік зерттеулер мен зертханалық сынақтардың қажеттілігін төмендетіп, қаржылық және уақыттық ресурстарды үнемдеуге ықпал етеді. Әзірленген бағдарламалық модульдерді ғылыми және білім беру мекемелерінде пайдалану қымбат коммерциялық бағдарламалық қамтамасыз етуді сатып алуға кететін шығындарды болдырмайды. Дайындалған әдістерді зерттеу және білім беру қызметіне енгізу есептеу математикасы мен медициналық модельдеу саласындағы ғылыми жобалардың тиімділігін арттыруға және мамандарды даярлау сапасын жақсартуға септігін тигізеді. Әзірленген алгоритмдерді медициналық және биотехнологиялық орталықтарда пайдалану деректерді талдау мен патологиялық үдерістердің дамуын болжауды оңтайландыруға мүмкіндік беріп, әлеуметтік-экономикалық тиімділікке (диагностика мен емдеу шығындарын азайтуға) қол жеткізеді.

Field of application (in Russian) : Область применения – вычислительная математика и численные методы решения дифференциальных уравнений; математическое моделирование медицинских и биологических процессов; информационные технологии и разработка программных средств для научных вычислений; системы поддержки принятия решений в медицине и биоинформатике; образовательный процесс по направлениям «Математическое и компьютерное моделирование», «Прикладная математика», «Информационные технологии»; исследовательские лаборатории и научные центры, занимающиеся анализом и прогнозированием динамики заболеваний и физиологических процессов.

Field of application (in Kazakh) : Қолдану саласы – есептеу математикасы және дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу әдістері; медициналық және биологиялық үдерістерді математикалық модельдеу; ғылыми есептеулерге арналған ақпараттық технологиялар мен бағдарламалық құралдарды әзірлеу; медицина мен биоинформатикадағы шешім қабылдауды қолдау жүйелері; «Математикалық және компьютерлік модельдеу», «Қолданбалы математика», «Ақпараттық технологиялар» бағыттары бойынша білім беру үдерісі; аурулар мен физиологиялық үдерістердің динамикасын талдау және болжаумен айналысатын зерттеу зертханалары мен ғылыми орталықтар.