The object of research, development or design (in Russian) : Объект исследования: задача Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, заданного в единичном круге при однородном граничном условии.

The object of research, development or design (in Kazakh) : Зерттеу нысаны: айнымалы коэффициенттері бар екінші ретті сызықтық эллиптикалық теңдеудің біртекті шекаралық шарты қойылған бірлік шеңбер аймағындағы Дирихле есебі болып табылады.

Aim of work (in Russian) : Цель работы: исследование задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в единичном круге и установление условий существования и единственности её решения в пространствах Бесова.

Aim of work (in Kazakh) : Жұмыстың мақсаты: айнымалы коэффициенттері бар екінші ретті сызықтық эллиптикалық теңдеудің бірлік шеңбер аймағындағы Дирихле есебін зерттеу және оның шешімінің Бесов кеңістіктерінде бар болу және бірегейлік шарттарын анықтау.

Методы исследования (на русском) : Используется метод Векуа, который позволяет изучать дифференциальные уравнения не приведя к каноническому виду и свести задачу к эквивалентному операторному двумерному сингулярному интегральному уравнению. Применимость указанного метода в пространствах Бесова обосновывается с использованием результатов руководителя проекта, где приведены необходимые оценки норм интегральных операторов с однородно-разностными ядрами в пространствах Бесова.

Методы исследования (на казахском) : Дифференциалдық теңдеулерді канондық түрге келтірместен зерттеуге мүмкіндік беретін Векуа әдісі қолданылады, бұл есепті эквивалентті операторлы екі өлшемді сингулярлы интегралдық теңдеуге келтіруге мүмкіндік береді. Көрсетілген әдістің Бесов кеңістіктерінде қолданылуы жоба жетекшісінің нәтижелері арқылы негізделеді, онда Бесов кеңістіктеріндегі біртекті айырма ядролары бар интегралдық операторлардың нормаларына қажетті бағалар келтірілген.

Obtained results and novelty (in Russian) : Получены интегральное представление решения и условия его единственности. Рассмотрим уравнение a u_{xx} + 2b u_{xy} + c u_{yy} + d u_x + e u_y + f u = h, (1) в единичном круге G = {x^2 + y^2 < 1} с однородным условием Дирихле u|_{∂G} = 0. Предположим, что a, b, c ∈ B_{p,1}^{2+α}(G), d, e, f, h ∈ B_{p,1}^{α}(G), 1 < p < 2, α = 2/p - 1, ac - b^2 > 0 в Ḡ, a + c = 2, и соответствующий оператор Pρ = -1/2Re [(a - c + 2i b)Π_{2} ρ + (d + i e)Π_{1} ρ] – 1/4 f Π_{0}ρ + 1/4 h, удовлетворяет неравенству сжатия ‖P(ρ₁ − ρ₂)‖_{B⁰} ≤ β ‖ρ₁ − ρ₂‖_{B⁰}, β < 1. Тогда уравнение ρ = Pρ имеет единственное решение ρ ∈ B_{p,1}^{α}(G), и, следовательно, задача Дирихле для (1) имеет единственное решение. В частности, при h ≡ 0 это решение тривиально: u ≡ 0. Получена условия существования задачи Дирихле, выражаемые в альтернативах Фредгольма. В случае линейного дифференциального уравнения соответствующее сингулярное интегральное уравнение можно регуляризовать. Тогда задача сводится к интегральному уравнению типа Фредгольма. Оператор Pρ имеет вид Pρ ≡ P_2 ρ + P_1 ρ + 1/4h, где P_2 ρ = −Re [A(z)Π_2 ρ], A = (a − c + 2i b)/2, P_1 ρ = −Re [A₀(z)Π_1 ρ] – 1/4 Π_0 ρ, A₀ = (d + i e)/2. Получаем ρ -(I − P₂)⁻¹P₁ ρ = 1/4(I − P₂)⁻¹h. (3) Условие разрешимости уравнения (3), которое эквивалентно сингулярному интегральному уравнению, следует из известных теорем Фредгольма.

Obtained results and novelty (in Kazakh) : Шешімнің интегралдық түрі мен оның жалғыздығының шарттары алынды. Келесі теңдеуді қарастырайық: a u_{xx} + 2b u_{xy} + c u_{yy} + d u_x + e u_y + f u = h, (1) бірлік шеңберде G = { (x, y): x^2 + y^2 < 1 } біртекті Дирихле шекаралық шартымен u|_{∂G} = 0. Болжайық: a, b, c ∈ B_{p,1}^{2+α}(G), d, e, f, h ∈ B_{p,1}^{α}(G), 1 < p < 2, α = 2/p - 1, ac - b^2 > 0 барлық Ḡ нүктелерінде, a + c = 2. Осы шарттар орындалғанда, сәйкес оператор Pρ = -½ Re[(a - c + 2i b)Π₂ρ + (d + i e)Π₁ρ] – ¼ f Π₀ρ + ¼ h келесі қысылу теңсіздігін қанағаттандырады: ‖P(ρ₁ − ρ₂)‖_{B⁰} ≤ β ‖ρ₁ − ρ₂‖_{B⁰}, β < 1. Онда теңдеу ρ = Pρ бірегей шешімге ие болады, мұнда ρ ∈ B_{p,1}^{α}(G). Осыдан, (1) теңдеуі үшін Дирихле есебінің шешімі бар және жалғыз екендігі шығады. Атап айтқанда, егер h ≡ 0 болса, онда шешім тривиалды: u ≡ 0. Дирихле есебінің шешімінің бар болу шарттары Фредгольм альтернативасы қағидалары арқылы өрнектелді. Сызықтық дифференциалдық теңдеу жағдайында сәйкес сингулярлық интегралдық теңдеуді регуляризациялауға болады. Мұндай жағдайда есеп Фредгольм типті интегралдық теңдеуге келтіріледі. Оператор Pρ келесі түрде беріледі: Pρ ≡ P₂ρ + P₁ρ + ¼h, мұндағы P₂ρ = −Re [A(z)Π₂ρ], A = (a − c + 2i b)/2, P₁ρ = −Re [A₀(z)Π₁ρ] – ¼ Π₀ρ, A₀ = (d + i e)/2. Сонда аламыз: ρ − (I − P₂)⁻¹P₁ρ = ¼ (I − P₂)⁻¹h. (3) (3) теңдеудің шешілу шарты, ол сингулярлық интегралдық теңдеуге эквивалентті, Фредгольм теоремаларынан тікелей туындайды.

The main constructive and technical economic indicators (in Russian) : Нет, так как исследование является фундаментальным.

The main constructive and technical economic indicators (in Kazakh) : Жоқ, себебі, зерттеу іргелі болып табылады.

Level of implementation (in Russian) : Нет

Level of implementation (in Kazakh) : Жоқ

Efficiency (in Russian) : Нет

Efficiency (in Kazakh) : Жоқ

Field of application (in Russian) : Проблемы проекта имеют непосредственные связи с определенным кругом задач геометрии и механики. Результаты проекта позволяют преодолеть значительные аналитические трудности, возникающие при изучении ряда классических проблем геометрии и механики, которые встречаются при изучении бесконечно малых изгибании поверхностей и безмоментной теории равновесия оболочек.

Field of application (in Kazakh) : Жобаның мәселелері геометрия және механика саласындағы белгілі бір тапсырмалар шеңберімен тікелей байланысты. Жоба нәтижелері беттердің шексіз шағын иілулері мен қабықшалардың иінсіз тепе-теңдік теориясын зерттеу кезінде кездесетін классикалық геометрия және механика есептерін зерттеудегі елеулі аналитикалық қиындықтарды жеңуге мүмкіндік береді.