The object of research, development or design (in Russian) : Нелинейные уравнения типа Шредингера, а именно система уравнений Хироты-Максвелла -Блоха

The object of research, development or design (in Kazakh) : Сызықты емес Шредингер типті теңдеулер, оның ішінде Хирота -Максвелл-Блох теңдеулер жүйесі

Aim of work (in Russian) : Исследовать интегрируемость и классифицировать нелокальные системы ШМБ, найти их точные решения с использованием классических методов математической физики, а также провести моделирование полученных результатов.

Aim of work (in Kazakh) : Локалды емес ШМБ теңдеулер жүйесін классификацилау және оның интегралдануын зерттеу, математикалық физиканың классикалық әдістерін қолдана отырып, олардың нақты шешімдерін табу, сондай-ақ алынған нәтижелерді модельдеу.

Методы исследования (на русском) : Применяются групповые и алгебраические редукции PT-типа для построения новых согласованных нелокальных моделей, сохраняющих интегрируемость исходных систем. Проводится классификация уравнений по типу нелокальности и структуре интегрируемых свойств — наличие пары Лакса, законов сохранения и би-гамильтоновой структуры.

Методы исследования (на казахском) : Зерттеуде бастапқы жүйелердің интегралдану қасиеттерін сақтай отырып, жаңа келісімді бейлокалдық модельдерді құру үшін PT-типтес топтық және алгебралық редукциялар қолданылады. Сонымен қатар, алынған теңдеулер бейлокалдық түрі мен интегралдану құрылымының сипаты бойынша — Лакс жұбының, сақталу заңдарының және би-гамильтондық құрылымның бар-жоғына қарай — жіктеледі.

Obtained results and novelty (in Russian) : В результате исследования получены новые классы нелокальных уравнений типа Шрёдингера с PT-симметрией, сохраняющих интегрируемость исходных систем. Для построенных моделей определены соответствующие пары Лакса, найдены солитонные и рациональные решения методом Дарбу, а также выявлены законы сохранения и би-гамильтонова структура, подтверждающие их интегрируемость. Проведена классификация систем по типу нелокальности и структуре интегрируемых свойств, что позволило сформировать базу данных новых интегрируемых моделей.

Obtained results and novelty (in Kazakh) : Зерттеу нәтижесінде бастапқы жүйелердің интегралдану қасиеттерін сақтайтын PT-симметриялы бейлокалдық Шредингер типті теңдеулердің жаңа класы алынды. Құрылған модельдер үшін сәйкес Лакс жұптары анықталып, Дарбу әдісі арқылы солитондық және рационал шешімдер табылды, сондай-ақ олардың интегралдануын дәлелдейтін сақталу заңдары мен би-гамильтондық құрылым айқындалды. Алынған жүйелер бейлокалдық түрі мен интегралдану қасиеттерінің құрылымына қарай жіктеліп, жаңа интегралданатын модельдердің деректер қоры жасақталды.

The main constructive and technical economic indicators (in Russian) : Научно-техническое содержание проекта: Разработаны новые математические модели — нелокальные уравнения типа Шрёдингера с PT-симметрией, обладающие свойством интегрируемости и допускающие точные солитонные, рациональные и периодические решения. Методологическая база: Использованы аналитические и символьные методы, включая построение пар Лакса, применение преобразований Дарбу и Бэклунда, а также численную верификацию в средах MATLAB и Mathematica. Конструктивные результаты: Определены законы сохранения, би-гамильтонова структура и классификация систем по типу нелокальности; создана база данных новых интегрируемых моделей, пригодная для последующих исследований и прикладного использования. Научная новизна и эффективность: Полученные результаты углубляют теорию нелокальных интегрируемых систем, расширяют класс известных PT-симметричных моделей и могут быть использованы в задачах квантовой механики, нелинейной оптики и динамики сложных сред. Экономическая и практическая значимость: Реализация проекта способствует развитию фундаментальных исследований в области математической физики, повышает научный потенциал Казахстана и конкурентоспособность отечественных исследовательских центров на международном уровне.

The main constructive and technical economic indicators (in Kazakh) : Жобаның ғылыми-техникалық мазмұны: Интегралдану қасиетіне ие және дәл солитондық, рационалдық және периодтық шешімдерді қабылдайтын PT-симметриялы бейлокалдық Шредингер типті теңдеулердің жаңа математикалық модельдері құрылды. Әдістемелік негіз: Зерттеуде аналитикалық және символдық әдістер қолданылды: Лакс жұбын құру, Дарбу және Бэклунд түрлендірулерін пайдалану, сондай-ақ MATLAB және Mathematica бағдарламалық орталарында сандық тексеру жүргізілді. Конструктивтік нәтижелер: Сақталу заңдары, би-гамильтондық құрылым және бейлокалдық түріне байланысты жүйелердің жіктелуі анықталды; алынған интегралданатын модельдердің нәтижелері негізінде жаңа деректер қоры жасалды, ол болашақ зерттеулерде қолдануға мүмкіндік береді. Ғылыми жаңалығы мен тиімділігі: Алынған нәтижелер бейлокалдық интегралданатын жүйелер теориясын тереңдетіп, белгілі PT-симметриялы модельдер класын кеңейтеді және оларды кванттық механика, бейсызық оптика мен күрделі орта динамикасы салаларында қолдануға негіз қалайды. Экономикалық және практикалық маңыздылығы: Жобаны іске асыру математикалық физика саласындағы іргелі зерттеулерді дамытуға, Қазақстанның ғылыми әлеуетін арттыруға және отандық ғылыми орталықтардың халықаралық деңгейдегі бәсекеге қабілеттілігін күшейтуге ықпал етеді.

Level of implementation (in Russian) : Результаты исследования имеют фундаментальный характер и направлены на развитие теоретических основ интегрируемых систем и нелокальных уравнений математической физики. Полученные результаты внедряются в научную практику через публикации в международных рецензируемых журналах, доклады на конференциях и могут быть использованы при подготовке курсов лекций по математической физике, дифференциальным уравнениям и теории солитонов.

Level of implementation (in Kazakh) : Зерттеу нәтижелері іргелі сипатқа ие және интегралданатын жүйелер мен бейлокал теңдеулердің теориялық негіздерін дамытуға бағытталған. Алынған нәтижелер халықаралық рецензияланатын журналдарда мақалалар жариялау, конференцияларда баяндама жасау арқылы ғылыми тәжірибеге енгізіледі және математикалық физика, дифференциалдық теңдеулер мен солитондар теориясы пәндері бойынша дәрістерде пайдаланылуы мүмкін.

Efficiency (in Russian) : Научная эффективность проекта заключается в получении новых классов интегрируемых нелокальных уравнений с PT-симметрией и точных решений, что способствует дальнейшему развитию современной математической физики. Практическая эффективность выражается в повышении качества подготовки молодых исследователей и создании научной базы для будущих прикладных исследований в области оптики, квантовой механики и динамики сложных систем.

Efficiency (in Kazakh) : Жобаның ғылыми тиімділігі РТ-симметриялы жаңа бейлокал интегралданатын теңдеулер кластарын және олардың дәл шешімдерін алумен сипатталады, бұл қазіргі заманғы математикалық физиканы дамытуды жалғастыруға мүмкіндік береді. Практикалық тиімділігі – жас зерттеушілердің ғылыми әлеуетін арттыру және оптика, кванттық механика мен күрделі жүйелер динамикасы салаларындағы қолданбалы зерттеулерге негіз құру.

Field of application (in Russian) : Результаты исследования имеют теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы в различных направлениях современной математической и теоретической физики. Разработанные нелокальные интегрируемые модели типа Шрёдингера с PT-симметрией применимы для описания физических процессов в квантовой механике, нелинейной оптике, плазменной физике, а также при моделировании динамики солитонных волн и нелинейных сред. Полученные методы анализа — построение пар Лакса, преобразования Дарбу, символьные вычисления и численные алгоритмы — могут быть использованы в дальнейшем при изучении интегрируемых и частично интегрируемых систем, а также в обучении студентов и магистрантов по направлениям «Математика», «Теоретическая физика» и «Қолданбалы математика».

Field of application (in Kazakh) : Зерттеу нәтижелері теориялық және қолданбалы тұрғыдан маңызды болып табылады және қазіргі заманғы математикалық пен теориялық физиканың әртүрлі бағыттарында пайдаланылуы мүмкін. PT-симметриялы бейлокалдық Шредингер типті интегралданатын модельдер кванттық механикада, бейсызық оптикада, плазмалық физикада, сондай-ақ солитондық толқындар мен бейсызық орта динамикасын модельдеуде қолданылады. Алынған талдау әдістері — Лакс жұбын құру, Дарбу түрлендіруі, символдық есептеулер мен сандық алгоритмдер — болашақта интегралданатын және жартылай интегралданатын жүйелерді зерттеуде, сондай-ақ «Математика», «Теориялық физика» және «Қолданбалы математика» мамандықтары бойынша студенттер мен магистранттарды оқыту үдерісінде пайдалануға мүмкіндік береді.