The object of research, development or design (in Russian) : Основная цель этого проекта является исследование числовых инвариантов, связанных с гомоморфизмами групп, в частности, когомологической размерности, категории Люстерника — Шнирельмана (сокращенно, LS-категории), топологической сложности и высшей топологической сложности. Основным препятствием к изучению упомянутых выше числовых инвариантов гомоморфизмов групп является то, что эти инварианты не полностью исследованы даже для групп. Вычисление этих инвариантов гомоморфизмов групп является сложной задачей даже для LS-категории, пока LS-категория группы равна когомологической размерности группы.

The object of research, development or design (in Kazakh) : Бұл жобаның негізгі мақсаты топтық гомоморфизмдермен байланысты сандық инварианттарды, атап айтқанда, когомологиялық өлшемді, Люстерник – Шнирельман категориясын (қысқаша айтқанда, LS-категориясын), топологиялық күрделілікті және жоғары топологиялық күрделілікті зерттеу болып табылады. Топтық гомоморфизмдерге жоғарыдағы сандық инварианттарды зерттеудегі негізгі кедергі - бұл инварианттар тіпті топтар үшін де толық зерттелмеген. Топтық гомоморфизмдердің осы инварианттарын есептеу тіпті LS-категориясы үшін де күрделі міндет болып табылады, ал топтың LS-категориясы топтың когомологиялық өлшеміне тең.

Aim of work (in Russian) : Цель проекта – исследовать LS-категорию и высшую топологическую сложность отображений. Кроме того, мы намерены обобщить классические теоремы из теории высшей топологической сложности пространств для отображений. В частности, мы планируем вычислить высшую топологическую сложность гомоморфизмов групп конечных абелевых групп.

Aim of work (in Kazakh) : Жобаның мақсаты – бейнелеулердің LS-категориясымен және жоғары топологиялық күрделілігін зерттеу. Сонымен қатар, біз кеңістіктердің жоғары топологиялық күрделілік теориясынан классикалық теоремаларды бейнелеулерге жалпы түрде енгізуді көздейміз. Нақтырақ айтқанда, шектелген генерирленген абелді топтардың топтық гомоморфизмдерінің жоғары топологиялық күрделілігін есептеуді жоспарлаймыз.

Методы исследования (на русском) : Для достижения поставленных целей будут использованы методы, относящиеся к различным областям математики, таким как алгебраическая топология, геометрическая теория групп, теория групп Ли и дифференциальная геометрия. В частности, предполагается применение методов алгебраической топологии, в том числе теории Люстерника–Шнирельмана, для исследования топологической сложности и высшей топологической сложности групповых гомоморфизмов.

Методы исследования (на казахском) : Жобаның мақсаттарына қол жеткізу үшін математика ғылымының әртүрлі салаларына тән әдістер қолданылатын болады, соның ішінде алгебралық топология, топтардың геометриялық теориясы, Ли топтары теориясы және дифференциалдық геометрия. Атап айтқанда, біз алгебралық топологияның әдістерін, соның ішінде Люстерник–Шнирельман теориясын, топологиялық күрделілік пен топтық гомоморфизмдердің жоғары топологиялық күрделілігін зерттеу үшін пайдаланамыз.

Obtained results and novelty (in Russian) : В рамках проекта были получены новые результаты, связанные с вычислением LS-категории гомоморфизмов групп. Исследования охватывали несколько классов групп, включая конечные группы, группы Baumslag–Solitar, более общие однореляционные группы, а также поверхностные группы, являющиеся фундаментальными группами замкнутых ориентируемых поверхностей. Для каждого типа групп применялись специальные методы. В частности, для конечных групп было доказано, что LS-категория гомоморфизмов является бесконечной, тогда как их когомологическая размерность конечна. Это позволило построить множество примеров, показывающих, что разрыв между LS-категорией и когомологической размерностью может быть сколь угодно большим.

Obtained results and novelty (in Kazakh) : Жоба аясында топ гомоморфизмдерінің LS-санатын есептеуге байланысты жаңа нәтижелер алынды. Зерттеу бірнеше топтар кластарын қамтыды: шекті топтар, Baumslag–Solitar топтары, бір қатынасы бар жалпы топтар және жабық бағдарланған беттердің фундаменталдық топтары. Әрбір топ түрі үшін арнайы әдістер қолданылды. Әсіресе шекті топтар жағдайында топ гомоморфизмдерінің LS-санаты шексіз, ал олардың когомологиялық өлшемі шекті екені дәлелденді. Бұл нәтиже LS-санат пен когомологиялық өлшем арасындағы айырмашылықтың қалағанша үлкен бола алатынын көрсететін көптеген мысалдарды құруға мүмкіндік берді.

The main constructive and technical economic indicators (in Russian) : Нет, так как иследование является фундаментальным.

The main constructive and technical economic indicators (in Kazakh) : Жоқ, себебі, зерттеу іргелі болып табылады.

Level of implementation (in Russian) : Нет.

Level of implementation (in Kazakh) : жоқ.

Efficiency (in Russian) : Исследование является фундаментальным.

Efficiency (in Kazakh) : Зерттеу іргелі болып табылады.

Field of application (in Russian) : Полученные результаты могут быть использованы в геометрической теории групп и алгебраической топологии. Кроме того, методы, разработанные в рамках данного проекта, могут быть применены для исследования новых числовых инвариантов, возникающих в этих областях. Предложенные подходы способствуют более глубокому пониманию взаимосвязи между алгебраическими и топологическими структурами и открывают новые направления для дальнейших теоретических исследований.

Field of application (in Kazakh) : Алынған нәтижелерді топтардың геометриялық теориясы мен алгебралық топология салаларында қолдануға болады. Сонымен қатар, осы жоба аясында әзірленген әдістер аталған бағыттарда пайда болатын жаңа сандық инварианттарды зерттеуде пайдаланылуы мүмкін. Бұл тәсілдер алгебралық және топологиялық құрылымдардың өзара байланысын терең түсінуге және теориялық зерттеулердің жаңа бағыттарын дамытуға мүмкіндік береді.