The object of research, development or design (in Russian) : Рассматриваются тензоры (или гиперматрицы) комплексных векторных пространств с естественным действием специальной линейной (SL) группы на каждом направлении и (координатное) кольцо полиномов, инвариантных относительно этого действия. Под фундаментальным инвариантом будем понимать инвариант минимальной степени. Такие инварианты являются многомерными обобщениями определителя. Эта тема восходит к пионерским работам Гильберта, доказавшего, что кольцо инвариантов конечно порождено, и Кэли, описавшего фундаментальные инварианты для четномерных тензоров. Однако о фундаментальных инвариантах нечетномерных тензоров известно мало, и эта тема связана с современными темами и важными гипотезами из алгебраической комбинаторики, геометрических инвариантов и теории сложности, к которым мы обращаемся в этом проекте.

The object of research, development or design (in Kazakh) : Әрбір бағытта табиғи арнайы сызықтық (SL) топтық әсері бар күрделі векторлық кеңістіктердің тензорларын (немесе гиперматрицаларын) және осы әсерге сәйкес инвариантты көпмүшелердің (координаталық) сақинасын қарастырылады. Іргелі инвариант деп минималды дәрежелі инвариантты айтамыз. Мұндай инварианттар анықтауыштың көп өлшемді жалпылауы. Бұл тақырып инварианттар сақинасының ақырлы туындатылатынын дәлелдеген Гильберт пен жұп өлшемді тензорлар үшін іргелі инвариантты сипаттаған Кэлидің пионерлік жұмыстарына қайтып оралады. Дегенмен, тақ өлшемді тензорлардың іргелі инварианттары туралы аз мәлімет бар және тақырып қазіргі тақырыптарға және осы жобада қарастырылатын алгебралық комбинаторика, геометриялық инварианттар және күрделілік теориясының маңызды болжамдарына қатысы бар.

Aim of work (in Russian) : Систематически изучить фундаментальные инварианты тензоров и добиться прогресса в решении некоторых сложных проблем

Aim of work (in Kazakh) : Тензорлардың іргелі инварианттарын жүйелі түрде зерттеуді және кейбір күрделі мәселелер бойынша ілгерілеуді мақсат етіп отырмыз

Методы исследования (на русском) : Используются различные инструменты и методы из алгебры, геометрии, теории представлений, комбинаторики

Методы исследования (на казахском) : Алгебраның, геометрияның, көрсетілімдер теориясының, комбинаториканың әртүрлі құралдары мен әдістері қолданады

Obtained results and novelty (in Russian) : Изучены унимодальность коэффициентов Кронекера. Исследованы жесткие (и слабые) свойства Лефшеца на соответствующих пространствах со старшим весом, которые будут иметь последствия для унимодальности и положительности коэффициентов Кронекера. Описаны ассоциированные векторы старшего веса в антисимметричном тензорном пространстве клина, двойственном кольцу инвариантных многочленов. Исследована двойственность между векторами старшего веса в антисимметричном тензорном пространстве клина и соответствующими SL-инвариантными полиномами.

Obtained results and novelty (in Kazakh) : Кронекер коэффициенттерінің унимодальдылығы зерттелді. Кронекер коэффициенттерінің унимодальдылығы мен оңдылығына әсер ететін күшті (және әлсіз) Лефшец қасиеттерін сәйкес ең жоғары салмақты кеңістіктерде зерттелді. Сынаның антисимметриялық тензорлық кеңістігінде инвариантты көпмүшелердің сақинасына қосарланған ең жоғары салмақты байланыстырылған векторлары сипатталған. Сынаның антисимметриялық тензорлық кеңістігіндегі ең жоғары салмақ векторлары мен сәйкес SL-инвариантты көпмүшеліктердің арасындағы қосарлылық зерттелді.

The main constructive and technical economic indicators (in Russian) : Исследование является фундаментальным

The main constructive and technical economic indicators (in Kazakh) : Зерттеу іргелі сипатқа ие

Level of implementation (in Russian) : Не рассматривается

Level of implementation (in Kazakh) : Қарастырылмайды

Efficiency (in Russian) : Исследования по проекту носят теоретический и фундаментальный характер

Efficiency (in Kazakh) : Жоба бойынша зерттеулер теориялық және іргелі сипатқа ие

Field of application (in Russian) : Результаты найдут применение в комбинаторике, теории представлений, алгебраической геометрии и теоретической информатике. Они также могут быть использованы в дальнейших исследованиях, в том числе другими исследовательскими группами. Помимо теоретической важности, наши вычислительные данные также должны представлять интерес для математиков, физиков и компьютерщиков

Field of application (in Kazakh) : Нәтижелер комбинаторикада, көрсетілімдер теориясында, алгебралық геометрияда және теориялық информатикада қолданылады. Сонымен қатар басқа зерттеу топтарымен қоса, кейінгі зерттеулерде де қолданылуы мүмкін. Теориялық маңыздылығынан басқа, біздің есептеу деректеріміз математиктерді, физиктерді және информатиктерді де қызықтырады деп ойлаймыз