The object of research, development or design (in Russian) : Нелинейные эллиптические уравнения на графах с малыми ребрами.

The object of research, development or design (in Kazakh) : Шағын доғалары бар графтар бойында анықталған сызықты емес эллиптикалық теңдеулер.

Aim of work (in Russian) : Рaссмотреть слaбо нелинейные эллиптические урaвнения нa грaфaх с мaлыми ребрaми и мaксимaльно детaльно изучить поведение решений при уменьшении длин дaнных ребер.

Aim of work (in Kazakh) : Шағын доғалары бар графтар бойында анықталған әлсіз сызықты емес эллиптикалық теңдеулерді қарастыру және доғалары кішірейгенде шешімдерін зерттеу.

Методы исследования (на русском) : В проекте отправной точкой послужит методикa рaботы [1], в которой рaссмaтривaлся линейный случaй. В нелинейном случaе отдельного изучения уже потребует вопрос о рaзрешимости рaссмaтривaемого нелинейного урaвнения, что плaнируется сделaть нa основе теории монотонных оперaторов. Исследовaние вопросов сходимости и выяснения зaвисимости решения от мaлого пaрaметрa будет сделaно нa основе нетривиaльного обобщения техники рaботы [1], a именно, её модификaции в ряде ключевых мест, где вместо линейной теории будут применяться подходящие методы нелинейного функционaльного aнaлизa. 1. D.I. Borisov. Analyticity of resolvents of elliptic operators on quantum graphs with small edges. // Adv. Math. 2022.V. 397. id 108125.

Методы исследования (на казахском) : Бұл жобада жұмыстың әдістемесі [1] мақала негізінде жазылатын болады, [1] жұмыста сызықтық жағдай қарастырылған. Біз сызықты емес теңдеудің шешімінің бар болуының зерттеуін монотонды операторлар теориясы негізінде жоспарлап отырмыз. Шешімдердің жинақтылығы және шағын параметрге тәуелділігін нақтылау жұмыс техникасын тривиальды емес жалпылау [1] жұмыс негізінде жүзеге асырылады, атап айтқанда, оның модификациясы ретінде сызықтық теорияның орнына сызықтық емес функционалдық талдаудың қолайлы әдістері қолданылады. 1. D.I. Borisov. Analyticity of resolvents of elliptic operators on quantum graphs with small edges. // Adv. Math. 2022.V. 397. id 108125.

Obtained results and novelty (in Russian) : Были исследованы полулинейные эллиптические уравнения второго порядка на графе-звезде с рёбрами различной длины, включая малые рёбра порядка ε. В центральной вершине задаётся общее граничное условие, а в граничных вершинах — условия Дирихле, Неймана или Робина. Нелинейность зависит от решения и пространственной переменной, удовлетворяет условию Липшица и монотонности, причём на малых рёбрах масштабируется множителем ε⁻¹. Доказана единственность решения задачи и изучено его поведение при ε → 0. Предельная задача формулируется на графе без малых рёбер и включает специальное нелинейное граничное условие в центральной вершине, возникающее под влиянием малых рёбер. Сходимость решений установлена равномерно по L_2-норме правой части уравнения. Построено асимптотическое разложение решения по ε произвольного порядка, получены равномерные оценки остаточных членов. Разработана рекурсивная процедура, аналогичная методу согласованных асимптотик, позволяющая находить все коэффициенты разложения. Кроме того, получено сходящееся разложение резольвенты в виде тейлоровской серии с оценками остаточных членов. На основе полученных результатов подготовлены статьи.

Obtained results and novelty (in Kazakh) : Екінші ретті жартылай сызықты эллиптикалық теңдеулер ұзындығы әртүрлі, оның ішінде ε тәрізді шағын доғалары бар жұлдыз пішінді графта зерттелді. Орталық төбеде жалпы шекаралық шарт қойылады, ал шеткі төбелерде Дирихле, Нейман немесе Робин шарттары қарастырылады. Сызықты емес шешімнің кеңістік айнымалысына тәуелді болып, Липшиц шартын және монотондық шартты қанағаттандырады; шағын доғаларда ол ε⁻¹ көбейткішімен масштабталады. Есептің жалғыз шешімі дәлелденді және оның ε → 0 кезінде түрі зерттелді. Шекті есеп шағын доғалары жоқ графта қойылады және орталық төбеде бастапқы шағын доғалардың әсерінен туындайтын арнайы сызықты емес шекаралық шартты қамтиды. Шешімдердің жинақтылығы теңдеудің оң жағына қатысты L₂-норма бойынша бірқалыпты дәлелденген. Шешімнің ε бойынша кез келген ретті асимптотикалық кеңейтілімі құрылған, қалған мүшелердің бірқалыпты бағалары алынған. Кез келген коэффициенттерді есептеуге мүмкіндік беретін, келісілген асимптотикалар әдісіне ұқсас рекурсивтік процедура әзірленді. Сонымен қатар, қалдық мүшелердің бағалауларымен бірге Тейлор түріндегі резольвента жинақталған жіктелуі алынған. Алынған нәтижелер негізінде мақалалар дайындалды.

The main constructive and technical economic indicators (in Russian) : Результаты изучения слабо нелинейных дифференциальных операторов на графах с малыми ребрами являются весомым вкладом в математическую науку и престижем отечественной науки и новым направлением в математике.

The main constructive and technical economic indicators (in Kazakh) : Шағын доғалары бар графтар бойында анықталған әлсіз сызықты емес дифференциалдық операторлар нәтижелері математика ғылымына елеулі үлес және отандық ғылымның беделі мен математикадағы жаңа бағыт болып табылады.

Level of implementation (in Russian) : Результаты изучения слабо нелинейных дифференциальных операторов на графах с малыми ребрам будут внедрены в учебный процесс в виде спецкурсов, читаемых на русском и английском языках для подготовки магистрантов и докторантов по специальности «Математика».

Level of implementation (in Kazakh) : Шағын доғалары бар графтар бойында анықталған әлсіз сызықты емес дифференциалдық операторлар нәтижелері «Математика» мамандығы бойынша магистранттар мен докторанттарды дайындау үшін орыс және ағылшын тілдерінде арнаулы курс түрінде оқу үрдісіне енгізіледі.

Efficiency (in Russian) : Результаты изучения слабо нелинейных дифференциальных операторов на графах с малыми ребрами позволяют решать ранее недоступные прикладные задачи в области классической механики.

Efficiency (in Kazakh) : Шағын доғалары бар графтар бойында анықталған әлсіз сызықты емес дифференциалдық операторлар нәтижелері классикалық механика саласының бұрын қол жетімсіз қолданбалы мәселелерін шешуге мүмкіндік береді.

Field of application (in Russian) : Результаты изучения слабо нелинейных дифференциальных операторов на графах с малыми ребрами могут быть применены для решения актуальных проблем прикладной математики, теоретической физики.

Field of application (in Kazakh) : Шағын доғалары бар графтар бойында анықталған әлсіз сызықты емес дифференциалдық операторлар нәтижелері нәтижелері теориялық физика, қолданбалы математиканың өзекті мәселелерін шешу үшін қолданылуы мүмкін.